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Jose J LeonardoMiembro desde: 13/04/17

Jose J Leonardo
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09/08/2017

Los Triángulos Leonard-Pascal: son un conjunto de triángulos infinitos formados cada unos de ellos por números enteros, donde la variable (j) multiplica el binomio de Newton siendo j ≥ 2 y la variable (j) es elemento del conjunto de los números naturales.

 

Los Triángulos Leonard-Pascal: son un conjunto de triángulos infinitos formados por números enteros, donde la diagonal cero izquierda (0Di) y la diagonal  cero derecha (0Dd)  es representada por la variable j, y el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda fila es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición seleccionada. La variable j = N, N representa el conjunto de los números naturales, pero j ≥ 2.

Los triángulos Leonard-Pascal son generados por este binomio: j(a b)elevado a potencia n , cuando la variable j = 1 entonces surge el conocido triangulo de pascal, pero cuando la Variable j>1, entonces  surgen los infinitos triángulos Leonard-Pascal que poseen diversas Utilidades matemáticas.

En los  triangulo Leonard-Pascal, el conjunto de posiciones van aumentando en cada fila, al mismo ritmo que aumentan los números naturales. Las posiciones es un concepto fundamental en los triángulos Leonard-Pascal, el concepto posición es totalmente diferente al concepto cantidad. La posición está relacionada con el concepto Cartesiano de par ordenado, creado por el matemático René Descartes. La cantidad está representada por símbolos llamados números, los cuales son colocado en cada unas de las posiciones que están determinada en el triangulo Leonard-Pascal.Los números son colocados en cada unas de la posiciones  mediante una mecánica matemática llamada algoritmo.

Fila: es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera horizontal en cualquier  Triangulo Leonard – Pascal seleccionado. Estas son nombradas  y simbolizadas en: 0F = fila cero, 1F= fila uno, 2F= fila dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

El numero de fila es igual a n, entonces la formula es;

 #F = n, entonces  n ≥ 0, donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales,

La fila cero (0F), posee una sola posición y representa el punto de partida para las demás posiciones. La fila uno (1F), posee dos extremos y carece de posición intermedia. La fila dos (2F), posee dos extremos y una posición intermedia. A partir de la fila tres  de un Triangulo Leonard-Pascal, las filas tienen tres partes fundamentales las cuales son: extremo inicial, extremo final y posiciones intermedias.

Extremo inicial: es la primera posición de una fila en cualquier triangulo Leonard-Pascal seleccionado.

Extremo final: es la última posición de una fila en cualquier triangulo Leonard-Pascal seleccionado.

Posiciones intermedias: son un conjunto de posiciones colocadas entre el extremo inicial y el extremo final.

Posición intermedia: es la posición colocada en medio del extremo inicial y el extremo final.

Columna: es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical en cualquier  Triangulo Leonard-Pascal.

Las columnas se clasifican en: columnas izquierdas, columna central y columnas derechas.

Columnas izquierdas: Es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical  y están ubicadas a la izquierda de la columna central. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Ci = columna izquierda, 1Ci=primera columna izquierda, 2Ci = segunda columna izquierda, 3Ci = tercera columna izquierda y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

Columna central: es un conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical y que divide cada Triangulo Leonard - Pascal  en dos partes iguales. Está colocada en la posición central del triangulo seleccionado. El símbolo que representa  la columna central es: 0C. La columna central es el punto de partida del conjunto de las columnas izquierdas  y el conjunto de las columnas derechas.

El conjunto de posiciones que poseen todas las columnas derechas son idénticas al conjunto de posiciones que poseen todas las columnas izquierdas.

 

Columnas derechas. Es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical  y están ubicadas a la derecha de la columna central. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Cd = columna derecha, 1Cd=primera columna derecha, 2Cd = segunda columna derecha, 3Cd = tercera columna derecha y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

En el triangulo Leonard-Pascal, una posición está definida por un par ordenado compuesto por el símbolo de una columna y el símbolo de una fila, dentro de dos paréntesis separados por una coma. J(C, F)

Diagonal: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal en un triangulo Leonard-Pascal. Las diagonales están orientadas en la dirección y sentido a la derecha o a la izquierda de la posición inicial de un triangulo Leonard-Pascal.

Diagonal derecha: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están orientadas en la dirección y sentido a la derecha de un triangulo Leonard-Pascal. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Dd = Diagonal derecha, 0Dd = Diagonal derecha cero, 1Dd = Diagonal derecha uno, 2Dd = Diagonal derecha dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito

 

Diagonal izquierda: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están orientadas en la dirección y sentido a la izquierda de un triangulo Leonard-Pascal. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Di = Diagonal izquierda, 0Di = Diagonal izquierda cero, 1Di = Diagonal izquierda uno, 2Di = Diagonal izquierda dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

El conjunto de posiciones que poseen todas las diagonales derechas son idénticas al conjunto de posiciones que poseen todas las diagonales izquierdas, por lo tanto 0Di=0Dd.

 

La diagonal cero está definida por la formula general: n ≥ 0 donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales.

 0D= j elevado a potencia n +1/ j elevado a potencia n.

 0Di=0Dd =0D

 Formula general para la diagonal uno:

1D =jn, donde  n ≥ 1 donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales. La diagoanal uno es igual al producto de la variable j por la variable n.

El primer Triangulo Leonard-Pascal se construye cuando la variable, j=2 y la variable (j) es elemento del conjunto de los números naturales

 La posición (1Cd, 5F) es una posición valida en este triangulo L-P, pero la posición (1Cd, 4F) es una posición invalida o farsa en este triangulo Leonard - Pascal, debido a que no está definida. Este triangulo L-P posee 28 posiciones valida.

El numero de fila es igual a n, entonces la formula es;                   #F = n, entonces  n ≥ 0, donde n = N  y N representa el conjunto de los números naturales.

La cantidad de posiciones que existen en cada fila  es igual a  n+1.  Esta es la formula  #P = n + 1

#P = Numero de posiciones, n ≥ 0, n = N. Donde N es igual al conjunto de los números naturales.

Observemos este problema, ¿Cuantas posiciones posee la fila ocho? 

8F es el numero de fila entonces n = 8.

Aplicando la formula #P = n +1 = 8+1= 9, esto indica que en la fila ocho existen nueves posiciones.

El famoso triangulo de pascal  es un  elemento del conjunto de los infinitos triángulos que se pueden formar utilizando este algoritmo.

Con los triángulos Leonard-Pascal se resuelven el coeficiente del binomio expresado de la forma: j(a b) elevado a potencia n.

Cuando j=2 y la variable (j) es elemento del conjunto de los números naturales, tenemos el binomio 2(a b)elevado a potencia n, el cual es desarrollado: 2(a b) elevado a potencia 0 = 2(1)=2. 

2(a b)elevado a potencia = 2(a b) = 2a + 2b.  

2(a b)elevado a potencia 2 = 2(a elevado a potencia 2 + 2ab + b elevado a potencia 2)  =2a elevado a potencia 2 + 4ab +2b elevado a potencia 2.  

 2(a b)elevado a potencia 3 = 2(a elevado a potencia 3+3a elevado a potencia 2 b+3ab elevado a potencia 2+b elevado a potencia 3)= 2 aelevado a potencia 3+6 aelevado a potencia 2 b+6ab elevado a potencia 2+2b elevado a potencia 3.

Si observamos comprobaremos que todos los coeficientes del desarrollo del binomio 2(a b)n están solucionados por el primer triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2.

La formula de la sucesión 2n /2n -1 , siendo n≥0, n es igual a cualquier numero entero positivo. Con el triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2 tenemos la solución de esta sucesión infinita, en la primera diagonal izquierda (0Di) y la primera diagonal derecha (0Dd), conocida como la diagonal cero.  

Siendo n=0 entonces 2 elevado a potencia n /2 elevado a potencia n -1 = 2 elevado a potencia 0 /2 elevado a potencia o -1 = 2 elevado a potencia 0 /2 elevado a potencia -1 = 1 /0.5 = 2.

Siendo n=1 entonces 2 elevado a potencia n /2 elevado a potencia n -1 = 2 elevado a potencia 1 /2elevado a potencia 1 -1 = 2 elevado a potencia 1 /2 elevado a potencia 0 = 2 /1 = 2.

Siendo n=2 entonces 2 elevado a potencia n /2 elevado a potencia n -1 = 2 elevado a potencia 2 /2 elevado a potencia 2 -1 = 2 elevado a potencia 2 /2 elevado a potencia 1 = 4 /2 = 2.

Siendo n=3 entonces 2 elevado a potencia 3 /2 elevado a potencia 3 -1  = 2 elevado a potencia 3 /2 elevado a potencia 2 = 8 /4 = 2.

 

La sucesión 2 elevado a potencia n, siendo n ≥ 1 n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita de números positivos pares (2, 4, 6, 8…), está representada en la diagonal derecha uno (1Dd) y  la diagonal izquierda uno (1Di).

Siendo n=1 entonces 2 elevado a potencia n = 2(1) = 2.

Siendo n=2 entonces 2 elevado a potencia n = 2(2) = 4.

Siendo n=3 entonces 2 elevado a potencia n = 2(3) = 6.

Siendo n=4 entonces 2 elevado a potencia n = 2(4) = 8.

 

La sucesión 2 elevado a potencia n, siendo n ≥ 1,  n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita 2 elevado a potencia n = (2, 4, 8, 16, …), está representada en la suma de las cantidades que están ubicadas en el conjunto de posiciones de cada fila. Iniciamos sumando en la fila cero (0F), luego en la fila uno (0F), después en la fila dos (2F) y así sucesivamente hasta extenderse al infinito. Obsérvenos triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2

 Siendo n=1 entonces 2 elevado a potencia n = 2 elevado a potencia 1 = 2.           0F =2.

Siendo n=2 entonces 2elevado a potencia n = 2elevado a potencia 2 = 4.            1F =2+2=4

Siendo n=3 entonces 2elevado a potencia n = 2elevado a potencia 3 = 8.            2F =2+4+2=8

Siendo n=1 entonces 2elevado a potencia n = 2 elevado a potencia4 = 16.          3F =2+6+6+2=16

La formula general para la diagonal cero 0D= j elevado a potencia n +1/ j elevado a potencia n

 

 

 

 

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